[muhammed_yılmaz]

yanlış almadıysam sabit hızla gittiği surece kesinlikle sonsuza yaklaşırken yeme ulaşabilir düşünün eğer hızı 1cm değil 90cm olsaydı bantın %90 ını giderdi geriye gideceği %10 kalırdı 1metre daha uzatıldığında %10 10cm değil 20cm olurdu ve bocek 90cm daha gitmeden ulaşırdı hızını düşürup 50cm yaparsak bu sefer 1.- 2.dk arasında da değil 4.-5.dk arasında ulaşırdı çünkü gittiği % azalsada her zaman buyur. Hızı kuçuldukçe ulaşma suresi uzardı sonuçda hızı 0 cm/dk ye yaklaştıkça ulaşma süreside sonsuza yaklaşırdı..... ama hızı 0 iken ulaşamaz.

basit mantıkla ancak bu kadar oluyor görüşlerinizi bekliyorum
)(soru çok guzel bir soru hazırlayandan Allah razıolsun)(

[matera]

Böcekler üzerinde deney yapan İsviçreli bilimadamları şöyle bir düzenek oluşturuyorlar. 1m uzunluğunda esnek bir bantın tek ucunu duvara sabitleyip diğer ucuna ise böcek yemi koyuyorlar. Sabit ucundan davranışı incelenecek böceği bırakıyorlar ve böcek 1cm/dakika sabit hızla yeme doğru ilerliyor. Bilimadamlarıysa her dakika sonunda yem olan uçtan bantı çekip 1m daha uzatıyorlar. Bu deney sonsuza kadar sürdürülse böcek yeme ulaşabilir mi? Yeme ulaşması için hızı en az ne olmalıdır?

Her ne kadar fiziksel gerçeklerle çelişiyor da olsa bu bantın sonsuz uzunluğua kadar esneyebildiğini ve her noktasının eşit miktarda esnediğini düşününüz. Son söylenenden kasıt bant 10m uzunluğundayken 1 dakika sonraki uzamada bantın 1. metresi üzerindeki nokta artık 110. cm üzerine , 6. metresindeki nokta ise 660. cm üzerine gelecektir.

Böceğin hızı her ne olursa olsun, isterse dakikada 1 cm isterse 0,1 cm yol alsın, isterse de 0,0001 cm yol alsın (yani hız sıfır olmadıkça) yeme her şekilde ulaşır.
ispat: bant belli bir kritik uzunluğa geldiğinde ( bu öyle bir noktadır ki, -işte buraya çok dikkat- : "böceğin aldığı yol ile bandın uzaması esnasında tam olarak üzerinde bulunduğu noktanın uzama miktarı başka deyişle -yer değiştirmesi- artık eşitlenmiştir" ve bu kritik konum geçildikten itibaren her dakika sonunda böceğin alacağı yol bandın üzerinde bulunduğu noktanın uzama miktarından fazla olacaktır.) artık böcek uzama esnasında bandın üzerinde bulunduğu "asansör noktanın" uzama miktarından daha fazla yol kat edecek ve yeme ulaşacaktır. Daha anlaşılır olsun diye örnek vereyim. Böceğimizin hızı dakikada 0,0001 (onbinde bir) metre olsun.. bu şartlarda bant uzunluğu 10.000 metreyi bulsa dahi böceğin yeme ulaşamayacağını kestirmek için kahin olmaya gerek yok sanırım? Ama işin güzel tarafı bu noktada başlıyor.......
-Bant 10.000 metre uzunluğunda iken 1 dakika sonra 10.001 metre olacaktır. bu, tüm bantta birer metre eşit aralıklarla seçilecek noktaların herbirinin "ortalama" 1/10.000m değerinde "uzayacağı" anlamı taşır. Böceğin bir dakikada kendi başına aldığı yolun bu kadar küçük bir kesirde olduğunu biliyoruz. (1/10.000 metre/dakika). O halde tam bu anda böceğin üzerinde bulunduğu noktanın uzama miktarı böceğin kendi başına aldığı yola -nerdeyse yaklaşık olarak- eşit olacaktır.(nerdeyse yaklaşık diyorum çünkü böceğin bant üzerindeki tam konumu bilinmedikçe birşey denilemez. ama bu halde bile %99,98 değerler yakındır birbirine, yani böceğin hızı= uzama esnasında üzüerinde bulunduğu ve onu ileri taşıyan asansör noktanın hızı)
bu eşik geçildikten sonra ise her dakika böcek yeme daha fazla yaklaşacaktır.çünkü ip 10.001 metreden 10.002 metreye çıkarken böceğin ip üzerinde bulunduğu "asansör noktanın" uzama miktarı böceğin aldığı yoldan kısa kalacaktır ki; bunu söylemeye gerek yok sanırım? ..bu şekilde her uzama bandın boyuna nazaran kesirce böceğin hızından düşük olacağından böcek yeme her şekilde ulaşır. eğer bu açıklama tatmin etmediyse daha detaya girerek ispat etmem mümkündür..aslolan neyi anlatmaya çalıştığımın anlaşılmasıdır.

[matera]

kritik noktaya açıklık getirmek istiyorum; "öyle bir bant uzunluğuna gelinirki, o dakika sonunda ipteki uzama sonucu böceğin üzerinde bulunduğu "asansör nokta" nın böceği taşıyacağı "x" uzunluğu= böceğin kendi gayreti ile katedeceği mesafe...asansör nokta ise böceğin, uzama başladığı anda "kendi gayreti olmaksızın" bant yoluyla kat ettiği mesafedir.
Sonuç: Böcek, kritik noktayı geçtikten sonra her dakika sonunda bandın üzerinde bulunduğu "asansör noktaların" uzama miktarlarından daha fazla yol alacaktır.. matematiksel olarak ispat etme gereği duyuyorsanız, bunu sizde rahatlıkla yapabilirsiniz. sadece biraz uçuk değerlerle uğraşırsanız ne demek istediğim daha iyi anlaşılacaktır. (örn: Bant 1milyon metre uzunluğunda iken 1 metre uzarsa, bu, asansör noktanın "yer değiştirmesini" neredeyse sıfıra yakın değiştirdiği halde böceğin hızı dakikada şayet 0,0001 metre bile olsa görüldüğü üzere yeme ulaşmak hiçte imkansız değil.. )
Aslında bu soruda ve bu soruya verdiğim cevabımda insanın aklını karıştıran YA BU BANT DAKKADA 1 METRE UZUYOR KARDEŞİM BÖCEK NASIL OLURDA 0,0001 CM/DAK. HIZLA YEME ULAŞIR?
anahtar şu: YEM HER ZAMAN BÖCEKTEN 1 METRE UZAKLAŞMIYOR artık gerisini tamamen anlamışsınızdır...

[paradoks12]

böceğin hızı v olsun;
100 cm lik yolu 100/v parçaya ayıralım ilk durumda ardışık iki nokta arası v kadardır.
böceğin v kadar yolu zıplayarak aldığını düşünelim;

1. dakika sonunda ardışık iki nokta arasındaki değişim v.2/1-v=v kadar olur.
2. dakika sonunda ardışık iki nokta arasındaki değişim v.3/2-v=0,5v kadar olur.
3. dakika sonunda ardışık iki nokta arasındaki değişim v.4/3-v=0,33v kadar olur
4.....................................................................v.5/4-v=0,20v kadar olur
...
.
.
.
bu şekilde devam ederse ardışık iki nokta arasındaki değişim bir süre sonra 0 a çok yakın bir değer alır. (yani bir süre sonra iki nokta bir birinden 100/v den daha az uzaklaşacak) işte bu anda böcek avantajlı duruma geçecek;
çünkü noktalar bir birinden 100/v den daha az uzaklaşırken böcek bu sürede 100/v kadar yol alacaktır, ve bu andan itibaren her geçen dakikada böcek bir sonraki noktaya yaklaşmış olacak ve bütün noktaları yavaş yavaş geçmeye başlaması kaçınılmaz olacak.

[paradoks12]

matera hocam size katılıyorum demeyi unutmuşum, doğru veya yanlış bilmiyorum ama sizin düşüncelerinizle yaklaşık aynı doğrultuda

[MatematikciFM]

sayın gereksizyorumcu, işlerim nedeniyle soruyla uğraşamadım. Sizi oyaladığım için özür dilerim.
zamana bağlı, bir dizi bulmuştum. Bulduğum dizinin her bir terimi, bir önceki terime bağlıydı ve, bağımsız hale getiremedim. Yani zincir fonksiyon gibi bir şey oldu. Bu dizide terimler arasındaki oran, gittikçe küçüldüğü için böceğin yeme ulaşabileceğine kanaat getirdim ama tam olarak sayısal çözüm olmadığı için yazmıyorum. Benden bu kadar.

[ömer_hoca]

Ben soruya teorik olarak yaklaşacağım. Sayısal yanıt yerine mantıksal yanıt vereceğim, bilmiyorum cevap yerine geçer mi.

Lastiğin uzunluğu t. dakika sonunda L_t=(1+t) metre olmaktadır. (Ben uzamanın dakikanın son saniyesinde yapıldığını farzettim. Ancak bunun çözüme hiçbir etkisi yoktur.) Böceğin aldığı yol ise, hızını v kabul ederek, yine t. dakika sonunda

x_t=(x_(t-1)+v)[(L_t+1)/L_t]

olacaktır. Çünkü böcek her dakika içinde, bir önceki dakika olduğu noktadan v kadar uzağa yürüyecek ve dakikanın son saniyesinde uzama nedeniyle geldiği noktanın [(L_t+1)/L_t] katı uzaklığa 'ışınlanacaktır'. Uzama çarpanını

E(t)=(L_t+1)/L_t

şeklinde tanımlarsak, t ≥ 1 için E(t) > 1 yazabiliriz. Buna göre, (t-1) ve t. dakikalar arasında alınan yol (yani t. dakika içinde alınan yol), F_t ile gösterilerek

F_t=x_t-x_(t-1)

t ve (t+1). dakikalar arasında alınan yol ise

F_(t+1)=x_(t+1)-x_t=(x_t+v)E-(x_(t-1)+v)E=(x_t-x_(t-1))E=F_tE

şeklinde yazılabilir. Burada dikkat etmek gerekir ki (x_t-x_(t-1)) bir dakika içinde alınan yol olduğundan dolayı F hız olarak da kabul edilebilir. Bu bakış açısına göre, E her zaman 1'den büyük bir sayı olduğundan dolayı, F_(t+1) > F_t olmakta, yani böceğin yürüme hızı sabit olduğu halde ilerleme hızı artmaktadır (bunun mantıksal nedeni uzama çarpanıdır).

Böceğin yeme ulaşabilmesi için yeter ve gerek koşul (zaman sınırlaması olmadığı için) böceğin aldığı yolun herhangi bir dakikadan sonra, lastiğin sabit uzama miktarı olan 1 metreyi geçmesidir (ya da yukarıda bahsettiğim bakış açısına göre, böceğin ilerleme hızı lastiğin uzama hızını geçmelidir). Bu kritik dakikadan sonra yem ile böcek arasındaki uzaklık azalmaya başlayacak ve en nihayetinde mesafe tükenecektir. Ve yukarıda bunun gerçekleşeceği görülmektedir (tabi bir mantık veya işlem hatası yapmadıysam).

Sayısal çözüm, seriler konusunun derin ve karanlık sularında maceralı bir yolculuğa çıkmayı gerektirir gibi görünüyor. Fark miktarı zaman cinsinden ifade edilirse integral ve diferansiyel hesap teknikleri de kullanılabilir kanımca. Ama bana kalırsa üstad bu sorunun içine de hiçbirimizin göremediği bir incelik yerleştirmiştir ve sonunda hepimiz yine "haydaaa" diyeceğiz.

[aerturk39]

son yazılanlarda olduğu gibi herkes böceğin bir hızı olduğu zaman (0 hariç)sonlu bir sürede böceğin yeme ulaşacağını söyledi.
böceğin bant üzerinde kat etmiş olduğu mesafede kat etmediği mesafesiyle aynı oranda uzuyor. O yüzden eğer böcek bantın k oranında bir kısmını kat ettiyse, bant uzadığı halde bu oran hep sabit kalıyor.
yani böcek V≠0 hızıyla hareket ediyorsa

1.dk da böcek Vcm gidiyor bant 100 cm yani V/100 gidildi
2.dk da böcek Vcm gidiyor bant 200 cm yani V/200 gidildi
3.dk da böcek Vcm gidiyor bant 300 cm yani V/300 gidildi
.
.
t.dk için Vcm gidiyor bant t.100 cm yani V/t.100 gidildi

işte bu t. dk kadar gidilen tüm mesafeleri toplarsak

t

∑

1

V/100k

bu seri IRAKSAK olduğundan sonlu dk sonra(yani t. dk) 1 i aşacak yani bantın tamamına ulaşmış olacak

ama ulaşma zamanı dk. da 1cm hız için analiz türev kullanmadan bulunamaz herhalde daha öncede yazdım o kısma baktım logaritmalar falan karışıyo beni aşar

[gereksizyorumcu]

evet çözümleriniz doğru , şimdi tek tek alıntı yapmak istemiyorum ama matera , ömerhoca ve paradoks hocalarımız noktaların birbirinden uzaklaşmasından hareketle ve böceğin bundan eninde sonunda daha büyük bir hıza ulaşacağını ve bu andan itibaren de yolun tükenme eğilimine gireceğini söyleyerek aerturk hocamızsa yolun oransal olarak tükenecğini belirtmişler. tüm çözümler bana göre aynı şeyin farklı farklı ifade edilmesi ve bana göre hepsi doğru

benim çözümüm de aerturk hocamızın çözümüyle aynı.
(v/100).(1+1/2+1/3+...) her zaman 100 olan bantın ilk boy uzunluğunu geçeceğini 1/n serisinin ıraksak olduğundan biliyoruz.
böcek pozitif her hızla yeme ulaşır

bir de unutmadan her ne kadar tam bir çözüm olmasa da cevabın muhammed_yılmaz adlı öğrenci arkadaşımız tarafından bulunduğunu da gözden kaçırmışım , her zaman ulaşabilir cevabını bulduktan sonra da az bir eforla çözüm de yapılabilir bence.