[sentetikgeo]

1)

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

ifadesinin en küçük değeri nedir?

2)0<a<b reel sayıları için , √b²-a²+√2ab-a²>b olduğunu gösteriniz.

3)

1

15

<

1

2

.

3

4

......

97

98

.

99

100

<

1

10

olduğunu gösteriniz.

[gereksizyorumcu]

1.
genelliği bozmadan a>=b>=c denilip
chebyshev yazılırsa
3S>=(a+b+c).(1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c))=S+3
S>=3/2 , hepsi eşitken de bu değerin alındığını görüyoruz yani alt sınır bu.

2.
hipotenüsü b=a+c , dik kenarlarından biri a olan bir dik üçgen çizilirse
dik kenarlar toplamı>hipotenüs (üçgen eşitsizliği)
birebir bunu sormuş.

3.
diğerleri gibi kolay gözükmüyor, belki kolaydır ama ilk bakışta bişey gözükmedi. kağıt stoğu olan bir mekanda ve uygun bi zamanda tekrar bakmaya çalışayım.

[aerturk39]

1. sorudaki ifade zaten birebir Nesbitt eşitsizliği

a,b,c >0 için Nesbitt eşitsizliği;

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥ 3/2

3)

k

k+1

<

k+1

k+2

işe yarayabilir sanki

[aerturk39]

3)

1

2

.

3

4

......

97

98

.

99

100

bu ifadeye A diyelim

2

3

.

4

5

......

98

99

.

99

100

bu ifadeyede B diyelim

bir önceki mesajda yazdığım eşitsizlikten
A < B

A² < A.B

A² < (1/100).(99/100)

A²< 1/100

A < 1/10

[gereksizyorumcu]

elinize sağlık hocam
görünüşe göre baştaki 1/2 çarpanını çıkartıp geri kalan için de (k-1)/k şeklinde bir çarpım oluşturursak da A²>1/200 bulunuyor. bu da yeterli zaten.

daha keskin bişeyler olması gerektiğini düşünmüştüm , gamma fonksiyonu falanla bu işlemin değeri 1/kök(pi*n) gibi bişey oluyor (bu soru için n=50).

[sentetikgeo]

Teşekkür ederim