[Cem1971]

Güzel bir soru:

∫

2∏

0

dx

1+cot⁴x

integralini hesaplayınız. (Okunmuyorsa, sınırlar (0,2pi))

[aerturk39]

fonksiyonun ilkel halini bulup çözmeye çalışmak çok fazla işlemi göze almayı gerektirir. ve hata yapma olasılığı yüksektir bu sorularda işin biraz şeytanlığına kaçmak gerek

cot⁴x=cos⁴x/sin⁴x ayrıca cot⁴x=1/tan⁴x olduğundan

∫

2∏

0

dx

1+cot⁴x

verilen integrali iki ayrı şekilde A ve B olarak tekrar düzenlersek

A=dx/(1+cot⁴x)=(sin⁴xdx) / (sin⁴x+cos⁴x)

B=dx/(1+cot⁴x)=(cos⁴xdx) / (sin⁴x+cos⁴x)
buradan A ile B yi toplarsak sonuç 1.dx yani dx sınırlar 0 dan 2∏ ye olduğundan
A+B=2∏
B integrali A nin x ekseninde ∏/2 kadar döndürülmesiyle oluştuğundan en önemli noktaya geldik A=B olduğunu görmeliyiz.
o halde A+B=2A=2∏ ise A=∏

[Cem1971]

Uğraşınız için teşekkür ederim Sayın Hocam. Elinize sağlık.

Fakat:
Valla Hocam ben çözümden birşey anlamadım.
0'dan 2∏'ye olduğundan A+B=2∏'ye eşit olduğunu nasıl gördünüz?
∏/2 kadar dönmek?!. Bunu da anlamadım.
Kısaca:
Bunları edebî dilde değil de, cebrik olarak göstermek gerek. Bence çok muğlak-kapalı bir çözüm olmuş.

[aerturk39]

0'dan 2∏'ye olduğundan A+B=2∏'ye eşit olduğunu nasıl gördünüz?
∏/2 kadar dönmek?!. Bunu da anlamadım.

sınırlar (0,2∏)
A=∫(sin⁴x)dx / (sin⁴x+cos⁴x)
B=∫(cos⁴x)dx / (sin⁴x+cos⁴x)

A+B=∫(sin⁴x)dx / (sin⁴x+cos⁴x)+∫(cos⁴x)dx / (sin⁴x+cos⁴x)=∫(sin⁴x+cos⁴x) dx / (sin⁴x+cos⁴x)=∫dx=2∏

NOT:burada sınırlar her iki ifadede aynı reel sayı ise ∫a.dx+∫b.dx=∫(a+b)dx

∏/2 kadar döndürülmesi yanlış yazılmış bir ifade doğrusu ∏/2 kadar ötelenmesidir olacak

esenlikler dilerim iyi çalışmalar....

[Cem1971]

Tabiî ki integralin toplama üzerine dağılma özelliği...

A=dx/(1+cot⁴x)=(sin⁴xdx) / (sin⁴x+cos⁴x)

B=dx/(1+cot⁴x)=(cos⁴xdx) / (sin⁴x+cos⁴x)
buradan A ile B yi toplarsak sonuç 1.dx yani dx sınırlar 0 dan 2∏ ye olduğundan
A

A ile B'yi zaten eşit almışsınız. Öteleme demeden zaten A=B imiş yâni. Fakat diğer sağ taraflar farklı...

Halbuki:

1

1+cot⁴x

=

sin⁴x

sin⁴x+cos⁴x

Bunu öğrenciler anlamazlar. Bunu kasdetmiştim.

[Cem1971]

Benim çözüm şöyle: