[Serkan A.]

A = a^p.b^r.c^s farklı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde olsun.

* A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı, (p + 1).(r + 1).(s + 1)
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir. A sayısının tam sayı bölenleri sayısı
2.(p + 1).(r + 1).(s + 1)

* A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
* A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı




* A'dan küçük A ile aralarında asal olan doğal sayıların adeti A.[(a-1)/a].[(b-1)/b].[(c-1)/c]

* A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı A^{(p + 1).(r + 1).(s + 1)/2}

[duygu95]

ÖRNEK 1:

K=4³.10².63

K sayısının asal çarpanlarının toplamı nedir ?

ÇÖZÜM 1:

Öncelikle K sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekmektedir.

4³=2⁶

10²=5².2²

63=7.9=7.3²

Buna göre,

K=2⁶.5².2².7.3²=2⁸.3².5².7

Olarak yazdığımızda K sayısının asal çarpanlarının 2,3,5,7 olduğunu buluruz.

2+3+5+7=17 bulunur.

[duygu95]

ÖRNEK 2:

1440 sayısının,

a) Asal çarpanlarını bulunuz.

b) Pozitif Tam bölen sayısını bulunuz.

c) Negatif Tam bölen sayısını bulunuz.

d) Tam Bölen Sayısını Bulunuz.

ÇÖZÜM 2:

1440 sayısını öncelikle asal çarpanlarına ayıralım.

1440=2⁵.3².5 şeklindedir.

a) 1440 sayısının asal çarpanları 2,3, ve 5'dir.

b) Pozitif tam bölen sayısı üslerin birer fazlasının çarpımıdır. (5+1).(2+1).(1+1)=36 bulunur.

c) Negatif tam bölen sayısı pozitif tam bölen sayısına eşittir ve 36 tanedir.

d) Tam bölen sayısı Pozitif tam bölen ve Negatif Tam bölen sayısının toplamı kadardır. 36+36=72 bulunur.

[duygu95]

ÖRNEK 3:

a ve b pozitif sayılar olmak üzere,

b²=24a ifadesinde a+b toplamının alabileceği en küçük değer nedir ?

ÇÖZÜM 3:

b²=24a verilmiş öncelikle 24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım

24=8.3=2³.3 olur.

b²=2³.3.a

burada 2³.3.a ifadesi bir sayının karesi olmalı bunun için kuvvetlerini çift hale

getirmeliyiz.Bunun için en az sağlayabilecek sayıları seçelim,

a=2.3 olduğunda sayımız 2⁴.3² olur ve tam kare bir ifade olur.

a=2.3=6

b²=2⁴.3²=144 ise b=12 olur

min(a+b)=18 bulunur.

[duygu95]

ÖRNEK 4:

A=2³.5².6²

sayısının asal bölenleri hariç kaç tane pozitif tam böleni vardır ?

ÇÖZÜM 4:

A=2³.5².3².2²

A=2⁵.3².5² şeklinde çarpanlara ayırılır. A sayısının 2,3 ve 5 olmak üzere 3 tane asal böleni vardır.

pozitif tam bölenleri saysı:(5+1).(2+1).(2+1)=54

Bunlardan 3 tanesi asal olup bunların haricinde istendiği için 54-3=51 bulunur.



ÖRNEK 5:

P=15^a-1 sayısının tam bölenleri sayısı 18 ise P sayısı kaçtır?


ÇÖZÜM 5:

15^a-1=3^a-1 .5^a-1


Tam bölenleri sayısı 2.(a-1+1).(a-1+1)=18
a.a=9 ise a=3 tür.

P=15^a-1=15^3-1=15²=225


ÖRNEK 6:

4000...000 (tüm sayıda n tane sıfır) 70 tane tam böleni varsa n kaç olmalıdır.

ÇÖZÜM 6:


4000...000=2².10ⁿ=2².2ⁿ.5ⁿ=2ⁿ⁺².5ⁿ

Tam bölenleri sayısı 2.(n+2+1).(n+1)=70

(n+3).(n+1)=35=7.5

n+3=7 ve n+1=5

n=4 tür.


ÖRNEK 7:

111+222+333+...+888 toplamının kaç tane negatif tam sayı böleni vardır?


ÇÖZÜM 7:

111+222+333+...+888=111.(1+2+3+...+8)=111.[8.9/2]=111.36=37.3.2.2.3.3=37¹.2².3³


negatif tam sayı böleni (1+1).(2+1).(3+1)=2.3.4=24