1. #1

    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf

    tümevarim

    1-n≥5 için n²<2n (n ∈N) tümevarım yoluyla ispatı?
    2-{an} dizisinin genel terimi an =32n+4-22n
    her n∈N için 5|an olduğunu gösterin.

  2. #2

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    1) n=5 için;

    5²<2⁵ doğrudur.

    n≥5 ve n=k için;

    k²<2k olduğunu varsayalım;

    Şimdi, (k+1)²<2k+1 ifadesinin doğruluğunu gösterelim:

    Her n∈N5 için;(n≥5) için, 2k>2k+1 olduğuna göre k²<2k ifadesi ile taraf tarafa toplarsak;
    ________________________________________________________________________
    (2n>2n+1 ispatı; n=5 için;
    2⁵>2.5+1 doğrudur.

    n≥5 ve n=k için,
    2k>2k+1 olduğunu varsayalım,

    2k+1>2(k+1)+1 = 2k+1>2k+3 ifadesinin doğruluğunu gösterelim;
    Her n∈N5 için;(n≥5) için,2k>2 dir.

    Bu eşitsizlikle 2k>2k+1 önermesini taraf tarafa toplayalım;

    2k>2k+1
    2k>2
    +___________________
    2k + 2k > 2k+3

    2k+1>2k+3 tür. Bu durumda 2n>2n+1 n∈N5 için doğrudur.)
    ___________________________________________________________________
    2k>2k+1
    2k >k²
    +_______________
    2k+1>k²+2k+1 = 2k+1>(k+1)² dir.

    Bu durumda , Her n∈N5 için, n²<2n doğrudur.

  3. #3

    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    teşekkür ederim!

  4. #4

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    Rica ederim. Anlamadığınız bir yer varsa lütfen sorun.

  5. #5

    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    hayır anladım. taraf tarafa toplamak aklıma gelmemişti.

  6. #6

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    2. soruda da tümevarım ile ispat mı isteniyor?

  7. #7

    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    Evet tümevarım yoluyla ispatı isteniyor.

  8. #8

    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    2. soru için ip ucu olarak şu verilmiş: an+1 + an

  9. #9

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    2)Verilen önermeyi her n∈N⁺ için,

    P(n): 32n+4-22n=5m (m∈Z) şeklinde yazabiliriz.

    n=1 için,
    P(1):36-4=5.145 olup P(1) doğrudur.

    n=k için,
    P(k): 32k+4-22k=5p (p∈Z) olduğunu varsayarak,

    n=k+1 için,

    P(k+1):32k+6-22k+2=5t (t∈Z) olduğunu gösterelim:

    P(k+1) de eşitliği;

    9.32k+4-4.22k=5t olarak düzenleyelim,

    Sonra P(k) ile bu eşitliği taraf tarafa toplayalım;

    9.32k+4-4.22k=5t
    32k+4-22k=5p
    +___________________________________
    10.32k+4-5.22k=5t+5p
    ifadeyi 5 parantezine alırsak;

    5(2.32k+4-22k)=5(t+p)

    Bu durumda 32k+4-22k 5 e tam bölündüğünü varsaydığımıza göre kendisiyle topladığımız ifadeninde 5 e tam bölünmesi durumunda toplamlarının 5 e tam bölünmesi durumu söz konusu olabilir. Yani P(k+1):32k+6-22k+2=5t (t∈Z) doğrudur.

    Demek ki, P(n) önermesi her n∈N⁺ için doğrudur.

  10. #10

    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    Teşekkürler!


 
2 sayfadan 1.si 12 SonuncuSonuncu

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. tümevarım
    büşra. bu konuyu Kpss matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 23 May 2013, 20:15
  2. tümevarım
    ayse_arslan bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 3
    Son mesaj : 10 May 2013, 21:29
  3. tümevarım
    ayse_arslan bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 10 May 2013, 12:26
  4. tümevarım
    biroltk bu konuyu 11. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 14 Mar 2013, 02:15
  5. Tümevarım
    reis26 bu konuyu 11. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 02 Nis 2012, 22:30
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları