[matkızı]

1-rakamları farklı 8 basamaklı en küçük doğal sayı ile 4 basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayının çarpımının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?c:7
2-rakamları aynı 25 basamaklı 88....8 sayısının 45 ile bölümünden kalan kaçtır?c:38
3-2m5n sayısı 12 ile kalansız bölünen 4 basamaklı bir sayı olduğuna göre m+n taplamı en çok kaçtır?c:14
4-dört basamaklı 1a6b sayısının 13 fazlası 20 ile tam bölünebildiğine göre a+b toplamı en az kaçtır?c:7
5-beş basamaklı 7a21b sayısının 11 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre kaç farklı (a,b) ikilisi vardır?c:9

[mathematics21]

1) rakamları farklı 8 basamaklı en küçük doğal sayı 10234567 dir. 7-6+5-4+3-2+0-1 ≡ 2 (mod 11) olduğu için 10234567 sayının 11 ile bölümünden kalan 2 dir. 4 basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı 9876 dır. 6-7+8-9 = -2 ≡ 9 (mod 11) olduğu için 9876 nın 11 ile bölümünden kalan 9 dur. Bu iki sayının çarpımının 11 ile bölümünden kalan için kalanların çarpımının 11 ile bölümünden kalana bakarız. 2 . 9 = 18 ≡ 7 (mod 11). Yani aradığımız sayı 7 dir.

2) 25 basamaklı x= 88...8 sayısının 45 ile bölümünden kalan y olursa, x in 9 ile bölümünden kalan ve y nin 9 ile bölümünden kalan aynıdır. Yani x ≡ y (mod 9). Benzer şekilde x ≡ y (mod 5) tir.

x in 9 ile bölümünden kalan bu sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalandır. 25 . 8 = 200 ≡ 2 (mod 9) olduğuna göre x in 9 ile bölümünden kalan 2 dir. x in 5 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre y<45 doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 ve 9 ile bölümünden kalan 2 dir.

9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre y sayısı 2, 11, 20, 29, 38 sayılarından biridir. Bunlardan 38 in 5 e bölümünden kalan 3 olduğuna göre y = 38 dir.

3) 2m5n = 12 k olduğuna göre 2m5n sayısı 3 ve 4 e tam bölünmelidir. 4 e tam bölüneceği için son iki basamağındaki sayı 52 veya 56 olmalıdır. Yani sayımız 2m52 veya 2m56 olabilir. Bunların 3 ile tam bölünebilmesine bakalım:

2m52 için 2 + m + 5 + 2 = 3k ise m = 0, 3, 6, 9 olabilir. Bu durumda m+n=2, 5, 8, 11 olabilir.

2m56 için 2 + m + 5 + 6 = 3k ise m = 2, 5, 8 olabilir. Bu durumda m+n=8, 11, 14 olabilir.

m+n en fazla 14 tür.

4) sayının 13 fazlası 20 ile tam bölünebildiğine göre sayının 20 ile bölümünden kalan 7 dir. 20=2. 10 olduğu için 1a6b nin 10 ile bölümünden kalan 7 ve 2 ile bölümünden kalan 1 dir (7 nin 2 ye bölümünden kalan 1 olduğu için).

1a6b nin 19 ile bölümünden kalan 7 ise b=7 dir.

1a67 sayısının 2 ile bölümünden kalan zaten 1 olduğu için a her rakam olabilir.

a+b nin en küçük olması için a=0 olmalıdır. Bu durumda a+b=0+7=7.

5) +b-1+2-a+7 ≡ 5 (mod 11) olmalıdır. Yani a-b ≡ 3 (mod 11) olmalıdır.

0 dan 9 a kadar 2 dışındaki her a rakamı için bir tane b rakamı bulunabilir. Yani (a, b) ikilileri 9 farklı değer alabilir.