Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!

sayılar rakamlar1 ile 40 arasında öyle 4 tam sayı bulalım ki sadece toplama ve çıkarma işlemi yaparak 1’den 40’a kadar tüm tam sayıları elde edebilelim. Diğer bir deyişle bir bakkalımız var ve 1’den 40’a kadar olan tartımları terazide yapabilmek için hangi 4 adet ağırlığa ihtiyacı var? Zeka sorusunun analizi yapmaya çalışalım.

Çözümü : En küçükten en büyüğe doğru sayılar seçmeliyiz.

1’den başlayalım. İlk ağırlığımız 1 olsun. 1’den sonra alacağımız en büyük sayı 3 olmalı.
Çünkü 2’yi de elde edebiliriz. 1 ve 3 ile elde edeceğimiz sayılar kendileri, farkı ve toplamıdır.
Yani 1 ile 4 arasındaki sayılar. Yani 5 yok. 5’i elde etmek için seçeceğimiz en büyük sayı 9’dur.
Çünkü 9-(1+3)=5. Evet 1,3 ve 9 ile elde edebileceğimiz sayılar, 1 ile 13 arasındaki sayılardır.
Ve son olarak 14’ü elde etmek için de 14+13=27 olduğundan son sayımız 27 olmalıdır.
 
Çözümün özeti:
 
1 sayısıyla 1’i elde ederiz. 1 ve 3 sayılarıyla yukarıdaki ve 3-1 ile 3+1 arasındaki yani
1 ile 4 arasındaki sayıları, 1,3 ve 9 sayılarıyla bir önceki ve 9-(1+3) ile 9+(1+3) arasındaki yani
1 ile 13 arasındaki sayıları, 1,3,9 ve 27 ile de bir öneki ve 27-(1+3+9) ile 27+(1+3+9) arasındaki yani
1 ile 40 arasındaki tam sayıları elde ederiz.
 
 
Çözümün analizi:
Dikkat edersek 40 sayısını şöyle ifade edebiliriz. 1+3+9+27=40. Yani; 30+31+32+33=40 dır.
O halde bu toplamı oluşturan sayılar aradığımız sayılardır.
Dolayısıyla soruyu biraz daha zorlaştırırsak 30+31+32+33+35 = 364 olduğundan 1 ile 364 arasındaki sayıları bulmak için 6 tane sayı gerekir ve bunlar; 1,3,9,27,81 ve 243 olur.
 
 
Genelleme:
 
1 ile   alt arasındaki sayıları elde etmek için  30, 31  , 32, … , 3n sayılarına ihtiyaç vardır ve n+1 tanedir.
 
Bülent GÜLTEKİN

bedirhan | 6 Ekim 2010 16:08 | Ziyaretçi
avatar
ben söyledim cevabı
   
yuckfou | 16 Ekim 2009 13:46 | Üye
avatar
burada anlatmaya çalıştığım 13 , 40 , 121 gibi (3^n-1)/2 gibi sayılara kadarki tüm toplamlar istenirse cevabın sadece 1-3-9-27-... gibi sayılar olduğudur çünkü zaten n tane sayı ile en fazla bu kadar değişik ağırlık oluşturulabilinir.

fakat sadece bikaç ağırlığın bile olmaması kabul edilebilir bir durumsa 1-3-9-27-... şeklinden farlı çözümler bulunabilir

mesela 40 değil de 39 a kadarki tüm değerleri elde eden 4 ağırlık sorulsaydı 1kg lik ağırlık yerine 2kg lik koyabilirdik. ve sonuçta 2-3-9-27 sayıları istenen koşulu sağlardı.
yazımızda anlatılan yönteme başvurursak 1 elde etmek için 1 elimizde olmalıydı gibi bir mantık yürütmemiz gerekirdi ki bunun 2-3-9-27 sayı 4lüsünün koşulumuzu sağlamasıyla çürümüş olduğu açıktır.

bu soruda 40 ın ve 39 un elde edilmesinden hareketle ancak 1 kg nin ağırlıklarımız arasında olduğu sonucuna varılabilir. zaten 2-3-9-27 kombinasyonunun da elde edemediği tek ağırlık 40kg dir, 1-39 ve 41 i elde eder.

   
MoRTiS | 16 Ekim 2009 12:17 | Üye
avatar
Hmm anladım güzelmiş..İyi bir mantık.Peki yüksek saylar içinde bir yöntem felan ??
   
yuckfou | 16 Ekim 2009 12:07 | Üye
avatar
bu anlatımın manavın 4 ağılık sorusuna bir çözüm değil cevap olduğunu belirten bir yorum yazmıştım ama sanırım silinmiş.

neyse ben söylediğimi tekrar etmek istiyorum, bu anlatılanlar sadece 1-3-9-27 nin sorumuzu çözen bir cevap olduğunu söylemekte, bana göre bu sorunun tek cevabı olduğunu anlatmamakta.

bu sorunun tek cevabının 1-3-9-27 olması ayrı bir konu :)

4 tane ağırlıktan her iri ya 1. kefeye, ya 2. kefeye ya da kenara(hiçbir kefeye)  koyulacağından toplam 3^4=81 durum oluşur
1 durum hiçbir apğırlıın kefelere konmaması durumudur ve 0kg yi tartar. kalan 80 durum ise simetriktir ve 40 tanesi diğerlerinin negatifleridir (30 ise -30 gibi)
kısaca 4 tane ağırlıkla en fazla 40 değişik ağırlığı tespit edebilirsiniz.
bizden tam olarak 1-40 arası istendiğine göre hiçbir israf olmamalıdır.
ağırlıklarımız a-b-c-d olduğunda hepsinin birbirinden farklı olması gerektiği açıktır. genelliği bozmadan a-b-c-d küçükten büyüğe dizilmiş olsun
a+b+c+d=40 olmalıdır.
a+b+c+d üzerinde yapılabilecek en küçük oynama ise a ağırlığının kefeden alınması olduğundan ve 39kg elde edilmesi gerektiğinden a=1 olmalıdır.
benzer şekilde b+c+d-a=38 olduğundan ve 37 elde edilebilmesi gereken bir ağırlık olduğundan b=3 olması gerekir ... bu mantığı ilerleterek diğer ağırlıklara ulaşılabilinir.


burada kabaca anlatmak istediğim ağırlıkları tek tek alarak sonuca ulaşmanın soruyu çözmeyeceğidir.yani 1 i 1 ile elde edebileceğimizi düşünmek doğru bir yöntem değildir. burada tersten gelmenin gerekli olduğunu düşnüyorum.

benzer bir mantıkla 1-40 değil de 1-30 arası toplamların hepsi sağlanıyo olsaydı ilk mantıkla 1-3-9 ve 17 sayıları (17 yerine 27 ye kadarki herhangi bir sayı da olabilir) cevaptır derdik ama
2-5-6-23 de bunu pekala sağlayabilir. 
   
MoRTiS | 15 Ekim 2009 21:18 | Üye
avatar
Arkadaşım ben yeni üye oldum ve yorumun dikkatimi çekti Noname.Hatan anlamışsndır heralde x=y ise x-y=0 değil mi?? x-y=2x-2y olduğunda x-y=2(x-y)  buradanda x-y ler sadeleşmez çünkü bölüm olarak diğer tarafa atamzsn bir sayınn sfıra bölümü tanmsız olur ve yaptığın işlem yanlıştır..
   
NoName | 23 Nisan 2009 01:11 | Üye
avatar
Benden size bir soru

x= y ise;

x-y= 0

2.(x-y)= 0

2.x-2.y= 0 dir.


bu durumda;

x-y=2x-2y

x-y=2.(x-y)
x-y ler sadeleşir
1=2 olur.
Bu genellemde hata nerde yapılmıştır???
Ben çözümü bliorum. Merak eden özel mesaj atıp sorabilirler.

   
biilge | 26 Ocak 2009 11:25 | Üye
avatar
gerçekten güzel bir çözüm
   
arifbilkay | 14 Ocak 2009 18:36 | Üye
avatar
Çok Güzel Bizimle Paylaştığın İçin Teşekkür Ederim...
   
mhmtrs | 14 Ocak 2009 18:19 | Üye
avatar
çok güzel ve anlaşılır bir açıklamaydı. soruyu ben sormuştum ama çözümünün bu şekilde olduğunu bilmiyodum. daha önce söylediğim gibi ben soruyu deneme yoluyla çözmüştüm ve çok uzun sürmüştü. paylaşım için çok çok teşekkürler.
saygılarımla...
   

Zorunlu

Zorunlu